Всё верно перевёл? 1. "Лежат ли 4 точки в одной плоскости, или A (1, 2, -1), B (0, 1, 5), C (-1, 2, 1), D (2, 1, 3)" 2. "Найти вектор C, перпендикулярный к векторам a {4, -3, 2} и b {8, -3, 3} и имеющий длину 26." 3. "Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат под углом 45 градусов к прямой y = 4 - 2 x" 4. "Определить угол B треугольника ABC, если A (2, -1, 3), B (1, 1, 1), C (0, 0, 5)" 5. "Найти точку пересечения прямой x + 2 / - 2 = y - 1 / 3 = z - 3 / 2 и плоскости x + 2 y - 2 z + 6 = 0"
1. Чтобы проверить, лежат ли 4 точки в одной плоскости, можно использовать формулу для определения объема параллелепипеда, образованного векторами между этими точками. Если объем равен нулю, то точки лежат в одной плоскости. Для данного случая, располагая точками A(1, 2, -1), B(0, 1, 5), C(-1, 2, 1) и D(2, 1, 3), можно сформировать следующие векторы: AB = B - A = (0 - 1, 1 - 2, 5 - (-1)) = (-1, -1, 6) AC = C - A = (-1 - 1, 2 - 2, 1 - (-1)) = (-2, 0, 2) AD = D - A = (2 - 1, 1 - 2, 3 - (-1)) = (1, -1, 4) Теперь можно рассчитать объем параллелепипеда, используя эти векторы: V = | AB · (AC × AD) | где · обозначает скалярное произведение, а × обозначает векторное произведение. AC × AD = (-2, 0, 2) × (1, -1, 4) = (2, 6, 2) AB · (AC × AD) = (-1, -1, 6) · (2, 6, 2) = 0 Получившийся объем равен нулю, что означает, что точки A, B, C и D лежат в одной плоскости. 2. Чтобы найти вектор C, перпендикулярный к векторам a {4, -3, 2} и b {8, -3, 3} и имеющий длину 26, можно использовать векторное произведение. C = a × b = (4, -3, 2) × (8, -3, 3) = ((-3) * 3 - 2 * (-3), 4 * 3 - 2 * 8, 4 * (-3) - (-3) * 8) = (-1, 12, -20) Длина вектора C равна sqrt((-1)^2 + 12^2 + (-20)^2) = sqrt(1 + 144 + 400) = sqrt(545) ≈ 23.366 Чтобы увеличить длину вектора C до 26, можно умножить вектор C на коэффициент: C = (26 / 23.366) * (-1, 12, -20) C ≈ (-1.117, 13.407, -22.345) 3. Пусть вектор r = (x, y) является направляющим вектором прямой, проходящей через начало координат. Угол между двумя прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Из уравнения прямой y = 4 - 2x можно выразить направляющий вектор b = (x, y) = (-2, 1). Угол между двумя векторами a и b можно найти с помощью формулы косинуса: cosθ = (a · b) / (|a| |b|) где а · b обозначает скалярное произведение векторов, |a| и |b| - их длины. Направляющий вектор a = (x, y) для прямой, проходящей через начало координат, равен (1, 0), так как прямая проходит через начало координат. cosθ = ((1, 0) · (-2, 1)) / (|1, 0| | -2, 1|) = (-2) / (1 * √(-2^2 + 1^2)) = -2 / √5 Угол θ можно найти с помощью функции arccos: θ = arccos(-2 / √5) Таким образом, уравнение прямой, проходящей через начало координат под углом 45 градусов к прямой y = 4 - 2x, будет иметь направляющий вектор (1, 0) и наклон (угол) θ = arccos(-2 / √5). 4. Чтобы определить угол B треугольника ABC, можно использовать формулу косинусов. Для данного случая, располагая точками A(2, -1, 3), B(1, 1, 1) и C(0, 0, 5), можно найти векторы AB и AC: AB = B - A = (1 - 2, 1 - (-1), 1 - 3) = (-1, 2, -2) AC = C - A = (0 - 2, 0 - (-1), 5 - 3) = (-2, 1, 2) Теперь можно вычислить косинус угла B, используя скалярное произведение векторов: cos(B) = (AB · AC) / (|AB| |AC|) где AB · AC обозначает скалярное произведение векторов AB и AC, а |AB| и |AC| - их длины. AB · AC = (-1, 2, -2) · (-2, 1, 2) = (-1 * (-2) + 2 * 1 + (-2) * 2) = 2 - 2 - 4 = -4 |AB| = sqrt((-1)^2 + 2^2 + (-2)^2) = sqrt(1 + 4 + 4) = sqrt(9) = 3 |AC| = sqrt((-2)^2 + 1^2 + 2^2) = sqrt(4 + 1 + 4) = sqrt(9) = 3 cos(B) = (-4) / (3 * 3) = -4/9 Таким образом, угол B треугольника ABC можно найти с помощью функции arccos: B = arccos(-4/9) 5. Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости, вначале нужно найти уравнение прямой и уравнение плоскости. Уравнение прямой задано в виде: x + 2 / -2 = y - 1 / 3 = z - 3 / 2 Из первого равенства получаем выражение для x: x = -2y + 1 Из второго равенства получаем выражение для z: z = 3y + 3 Подставим x и z в последнее равенство, чтобы выразить y: -2y + 1 + 2y - 3 + 2(3y + 3) + 6 = 0 -8y + 7 = 0 y = 7/8 Теперь можем найти x и z: x = -2(7/8) + 1 = -7/4 + 4/4 = -3/4 z = 3(7/8) + 3 = 21/8 + 24/8 = 45/8 Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты (x, y, z) = (-3/4, 7/8, 45/8).