Это первый: Даны значения признака: 88; 22; 55; 88; 11; 88; 22; 55; 11; 44; 55; 88; 55; 88; 11. Постройте эмпирическую функцию распределения. Выберите несколько вариантов ответов F(x)=0F(x)=0, если x<1x<1 F(x)=0,4F(x)=0,4, если x∈(4;5]x∈(4;5] F(x)=0,5F(x)=0,5, если x∈(5;8]x∈(5;8] F(x)=0,2F(x)=0,2, если x∈(1;2]x∈(1;2] F(x)=1F(x)=1, если x>8 Это второй: Даны значения признака: 1,21,2; 0,10,1; 1,51,5; 1,31,3; 1,21,2; 0,50,5; 1,21,2; 0,30,3; 0,20,2; 0,80,8; 1,21,2; 0,30,3; 1,21,2; 1,61,6; 0,40,4; 1,31,3. Постройте интервальный вариационный ряд, содержащий 5 интервалов. Постройте гистограмму частот. Найдите медиану. Введите ответ: (1.2, 2, 1 не верно) Третий: Даны значения признака:1,21,2; 0,10,1; 1,51,5; 1,31,3; 1,21,2; 0,50,5; 1,21,2; 0,30,3; 0,20,2; 0,80,8; 1,21,2; 0,30,3; 1,21,2; 1,61,6; 0,40,4; 1,31,3. Постройте интервальный вариационный ряд, содержащий 55 интервалов. Найдите моду. Введите ответ: (1.2, 2, 1 не верно)
Давайте разберем каждую задачу. **Задача 1: Эмпирическая функция распределения** 1. **Упорядочим данные:** 11, 11, 11, 22, 22, 44, 55, 55, 55, 55, 88, 88, 88, 88, 88. 2. **Общее число наблюдений (n):** n = 15. 3. **Найдем уникальные значения и их частоты:** * 11: 3 раза * 22: 2 раза * 44: 1 раз * 55: 4 раза * 88: 5 раз 4. **Построим эмпирическую функцию распределения F(x):** F(x) - это доля наблюдений, меньших или равных x. F(x) = (Число наблюдений ≤ x) / n. * Если x < 11, F(x) = 0 / 15 = 0 * Если 11 ≤ x < 22, F(x) = 3 / 15 = 0.2 * Если 22 ≤ x < 44, F(x) = (3 + 2) / 15 = 5 / 15 ≈ 0.333 * Если 44 ≤ x < 55, F(x) = (5 + 1) / 15 = 6 / 15 = 0.4 * Если 55 ≤ x < 88, F(x) = (6 + 4) / 15 = 10 / 15 ≈ 0.667 * Если x ≥ 88, F(x) = (10 + 5) / 15 = 15 / 15 = 1 5. **Проверим предложенные варианты:** * `F(x)=0, если x<11`: **Верно**. По определению нашей F(x). * `F(x)=0,4, если x∈(4;5]`: **Неверно**. В интервале (4; 5] нет значений из выборки, самое маленькое значение - 11. Поэтому для x в этом интервале F(x) = 0. *Вероятно, имелся в виду интервал (44; 55], но и тогда утверждение неверно, так как F(55) ≈ 0.667, а не 0.4.* * `F(x)=0,5, если x∈(5;8]`: **Неверно**. В интервале (5; 8] нет значений из выборки. F(x) = 0 для x в этом интервале. *Вероятно, имелся в виду интервал (55; 88], но и тогда неверно, F(x) ≈ 0.667 или 1.* * `F(x)=0,2, если x∈(1;2]`: **Неверно**. В интервале (1; 2] нет значений из выборки. F(x) = 0 для x в этом интервале. *Вероятно, имелся в виду интервал (11; 22], но и тогда неверно, так как F(22) ≈ 0.333, а не 0.2.* * `F(x)=1, если x>8`: **Неверно**. F(x) становится 1 только при x ≥ 88. Например, F(50) = 0.4, F(60) ≈ 0.667. *Вероятно, имелось в виду x > 88. Если бы было x > 88, то утверждение было бы **Верно**, так как F(x)=1 для x ≥ 88.* **Вывод по Задаче 1:** Судя по всему, в вариантах 2, 3, 4, 5 допущены опечатки в интервалах. Если предположить, что имелись в виду интервалы, соответствующие скачкам функции (например, `x > 88` вместо `x > 8`), то верными были бы варианты 1 и 5. Если же принимать варианты как есть, то **верный только вариант 1**. **Задачи 2 и 3: Интервальный ряд, Гистограмма, Медиана, Мода** **Данные:** 1.2; 0.1; 1.5; 1.3; 1.2; 0.5; 1.2; 0.3; 0.2; 0.8; 1.2; 0.3; 1.2; 1.6; 0.4; 1.3. 1. **Объем выборки (n):** n = 16. 2. **Упорядоченный ряд:** 0.1, 0.2, 0.3, 0.3, 0.4, 0.5, 0.8, 1.2, 1.2, 1.2, 1.2, 1.2, 1.3, 1.3, 1.5, 1.6. 3. **Размах вариации (R):** R = x_max - x_min = 1.6 - 0.1 = 1.5. 4. **Число интервалов (k):** k = 5 (задано). 5. **Ширина интервала (h):** h = R / k = 1.5 / 5 = 0.3. 6. **Построение интервального вариационного ряда:** Начнем с минимального значения 0.1. Границы интервалов: 0.1, 0.4, 0.7, 1.0, 1.3, 1.6. Используем полуинтервалы [a, b), последний интервал включает правую границу [a, b]. | № | Интервал | Частота (nᵢ) | Накопл. частота (n_cum) | Плотность частоты (nᵢ/h) | |---|---------------|--------------|-------------------------|--------------------------| | 1 | [0.1, 0.4) | 4 | 4 | 4 / 0.3 ≈ 13.33 | | 2 | [0.4, 0.7) | 2 | 6 | 2 / 0.3 ≈ 6.67 | | 3 | [0.7, 1.0) | 1 | 7 | 1 / 0.3 ≈ 3.33 | | 4 | [1.0, 1.3) | 5 | 12 | 5 / 0.3 ≈ 16.67 | | 5 | [1.3, 1.6] | 4 | 16 | 4 / 0.3 ≈ 13.33 | | | **Итого** | **16** | | | 7. **Гистограмма частот:** Строится по данным таблицы. По оси X откладываются интервалы, по оси Y – частоты (nᵢ) или плотности частоты (nᵢ/h). Высота каждого столбика (прямоугольника) над интервалом пропорциональна частоте (или равна плотности частоты, если используется она). Самый высокий столбик будет над интервалом [1.0, 1.3). 8. **Задача 2: Нахождение Медианы (Me)** * **По исходным данным:** Так как n=16 (четное), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов упорядоченного ряда: (8-го + 9-го) / 2. Ряд: 0.1, 0.2, 0.3, 0.3, 0.4, 0.5, 0.8, **1.2**, **1.2**, 1.2, 1.2, 1.2, 1.3, 1.3, 1.5, 1.6. Me = (1.2 + 1.2) / 2 = 1.2. * **По интервальному ряду:** Медиана находится в интервале, где накопленная частота впервые достигает или превышает n/2 = 16/2 = 8. Это 4-й интервал [1.0, 1.3), так как его накопленная частота равна 12. Формула медианы для интервального ряда: Me = xₘ + h * ( (n/2 - n_{m-1}) / nₘ ) где: * xₘ = 1.0 (нижняя граница медианного интервала) * h = 0.3 (ширина интервала) * n = 16 (объем выборки) * n_{m-1} = 7 (накопленная частота интервала перед медианным) * nₘ = 5 (частота медианного интервала) Me = 1.0 + 0.3 * ( (16/2 - 7) / 5 ) = 1.0 + 0.3 * ( (8 - 7) / 5 ) = 1.0 + 0.3 * (1 / 5) = 1.0 + 0.3 * 0.2 = 1.0 + 0.06 = **1.06**. Поскольку указано, что ответ "1.2" неверен, вероятнее всего, требуется медиана, рассчитанная по интервальному ряду. **Ответ для Задачи 2:** 1.06 9. **Задача 3: Нахождение Моды (Mo)** * **По исходным данным:** Мода – это значение, которое встречается чаще всего. В исходном ряду значение 1.2 встречается 5 раз – чаще других. Mo = 1.2. * **По интервальному ряду:** Мода находится в интервале с наибольшей частотой (модальном интервале). Это 4-й интервал [1.0, 1.3) с частотой n_max = 5. Формула моды для интервального ряда: Mo = xₘ₀ + h * ( (nₘ₀ - n_{m₀-1}) / ( (nₘ₀ - n_{m₀-1}) + (nₘ₀ - n_{m₀+1}) ) ) где: * xₘ₀ = 1.0 (нижняя граница модального интервала) * h = 0.3 (ширина интервала) * nₘ₀ = 5 (частота модального интервала) * n_{m₀-1} = 1 (частота интервала перед модальным) * n_{m₀+1} = 4 (частота интервала после модального) Mo = 1.0 + 0.3 * ( (5 - 1) / ( (5 - 1) + (5 - 4) ) ) = 1.0 + 0.3 * ( 4 / ( 4 + 1 ) ) = 1.0 + 0.3 * (4 / 5) = 1.0 + 0.3 * 0.8 = 1.0 + 0.24 = **1.24**. Поскольку указано, что ответ "1.2" неверен, вероятнее всего, требуется мода, рассчитанная по интервальному ряду. **Ответ для Задачи 3:** 1.24 **Итоговые ответы:** * **Задача 1:** Верные варианты (если предположить опечатки в интервалах) - **1 и 5**. Если брать варианты как есть - **только 1**. * **Задача 2 (Медиана):** **1.06** (рассчитанная по интервальному ряду) * **Задача 3 (Мода):** **1.24** (рассчитанная по интервальному ряду)