лижусвоейдаме, лан держи Задача 218 требует разложения функции \(\ln(2 - z)\) в ряд Тейлора по степеням \(z\). ### Шаги решения: 1. Рассмотрим функцию \(\ln(2 - z)\), которая может быть разложена в степенной ряд с центром в \(z = 0\). Для этого используем стандартное разложение для логарифмической функции: \[ \ln(1 - x) = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}, \quad |x| < 1. \] 2. Преобразуем \(\ln(2 - z)\) в подходящую форму. Вынесем за скобки 2: \[ \ln(2 - z) = \ln\left(2\left(1 - \frac{z}{2}\right)\right) = \ln(2) + \ln\left(1 - \frac{z}{2}\right). \] 3. Теперь применим разложение \(\ln(1 - x)\) для \(x = \frac{z}{2}\): \[ \ln\left(1 - \frac{z}{2}\right) = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(\frac{z}{2}\right)^n}{n} = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n \cdot 2^n}. \] 4. Следовательно, разложение функции \(\ln(2 - z)\) в ряд Тейлора будет следующим: \[ \ln(2 - z) = \ln(2) - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n \cdot 2^n}. \] ### Радиус сходимости: Для получения радиуса сходимости ряда используем тот факт, что для разложения \(\ln(1 - x)\) ряд сходится при \(|x| < 1\). В нашем случае \(x = \frac{z}{2}\), поэтому ряд сходится при: \[ \left|\frac{z}{2}\right| < 1 \quad \Rightarrow \quad |z| < 2. \] Таким образом, радиус сходимости равен \(R = 2\). Итоговое разложение: \[ \ln(2 - z) = \ln(2) - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^ n}{n \cdot 2^n}, \quad |z| < 2. \]
pantishkin, Для функции ( \ln(2 - z) ) можно использовать известное разложение для логарифмической функции. Мы знаем, что: [\ln(1 - x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}, \quad |x| < 1] Чтобы привести нашу функцию к этому виду, сделаем замену переменных. Запишем: [\ln(2 - z) = \ln\left(2(1 - \frac{z}{2})\right) = \ln(2) + \ln\left(1 - \frac{z}{2}\right)] Теперь подставим разложение для ( \ln(1 - x) ), где ( x = \frac{z}{2} ): [\ln\left(1 - \frac{z}{2}\right) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(\frac{z}{2}\right)^n}{n} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{2^n n}] Таким образом, полное разложение будет: [\ln(2 - z) = \ln(2) - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{2^n n}] Теперь запишем это в виде ряда: [\ln(2 - z) = \ln(2) - \left( \frac{z}{2} + \frac{z^2}{2^2 \cdot 2} + \frac{z^3}{2^3 \cdot 3} + \ldots \right)] Радиус сходимости Радиус сходимости данного ряда можно найти из условия: [\left| \frac{z}{2} \right| < 1 \Rightarrow |z| < 2] Таким образом, радиус сходимости равен 2. Итоговое разложение и радиус сходимости [\ln(2 - z) = \ln(2) - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{2^n n}, \quad |z| < 2] Радиус сходимости: ( R = 2 )