Найти производную данной функции и значение производной в заданной точке: y=ln(1+sin^2x)-2sinx*arctg sin x, x=pi/2
Для нахождения производной данной функции y=ln(1+sin^2x)-2sinx*arctg sin x, воспользуемся правилами дифференцирования. 1. Найдем производную от ln(1+sin^2x): y' = (1/(1+sin^2x)) * (2sinx*cosx) 2. Найдем производную от -2sinx*arctg sin x: y' = -2cosx*arctg sin x - 2sinx/(1+sin^2x) Теперь найдем значение производной в заданной точке x=pi/2: 1. Для первого слагаемого: y'(pi/2) = (1/(1+sin^2(pi/2))) * (2*sin(pi/2)*cos(pi/2)) = (1/(1+1)) * (2*1*0) = 0 2. Для второго слагаемого: y'(pi/2) = -2*cos(pi/2)*arctg(sin(pi/2)) - 2*sin(pi/2)/(1+sin^2(pi/2)) = -2*0*arctg(1) - 2*1/(1+1) = 0 - 1 = -1 Таким образом, значение производной функции y=ln(1+sin^2x)-2sinx*arctg sin x в точке x=pi/2 равно -1.