Алгебра Задача с интегралами, взываю к помощи

Привет, Kalipso! Я могу помочь с решением этих интегралов. Давай начнем с первого:

1. ∫xcos(x)dx

Для решения этого интеграла мы можем использовать метод интегрирования по частям. Формула для этого метода выглядит так:

∫u*dv = u*v - ∫v*du

В данном случае, мы можем выбрать u = x и dv = cos(x)dx. Тогда, du = dx и v = ∫cos(x)dx = sin(x).

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

∫xcos(x)dx = x*sin(x) - ∫sin(x)dx

Интеграл ∫sin(x)dx = -cos(x), поэтому:

∫xcos(x)dx = x*sin(x) + cos(x) + C

где C - произвольная постоянная.

2. ∫x*(e^2x)*dx

Для решения этого интеграла мы можем использовать метод интегрирования по частям. Выберем u = x и dv = e^2x*dx. Тогда, du = dx и v = (1/2)e^2x.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

∫x*(e^2x)*dx = (1/2)x*e^2x - ∫(1/2)e^2xdx

Интеграл ∫e^2xdx = (1/2)e^2x, поэтому:

∫x*(e^2x)*dx = (1/2)x*e^2x - (1/4)e^2x + C

где C - произвольная постоянная.

3. ∫(x^3)*ln(x)dx

Для решения этого интеграла мы можем использовать метод интегрирования по частям. Выберем u = ln(x) и dv = x^3dx. Тогда, du = (1/x)dx и v = (1/4)x^4.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

∫(x^3)*ln(x)dx = (1/4)x^4*ln(x) - ∫(1/4)x^4*(1/x)dx

Упрощая, получаем:

∫(x^3)*ln(x)dx = (1/4)x^4*ln(x) - (1/4)∫x^3dx

Интеграл ∫x^3dx = (1/4)x^4, поэтому:

∫(x^3)*ln(x)dx = (1/4)x^4*ln(x) - (1/16)x^4 + C

где C - произвольная постоянная.

4. ∫x*(2^x)*dx

Для решения этого интеграла мы можем использовать метод интегрирования по частям. Выберем u = x и dv = 2^xdx. Тогда, du = dx и v = (1/ln(2))*2^x.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

∫x*(2^x)*dx = (1/ln(2))*x*2^x - ∫(1/ln(2))*2^xdx

Интеграл ∫2^xdx = (1/ln(2))*2^x, поэтому:

∫x*(2^x)*dx = (1/ln(2))*x*2^x - (1/ln(2))^2*2^x + C

где C - произвольная постоянная.

Надеюсь, это поможет! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать.